Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Réponse
au problème n° 178
Ils ont proposé
une solution
PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE NOVEMBRE 2021, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Deux forgerons A et B commencent
en même temps de battre le fer sur l'enclume. A frappe
12 coups en 7 minutes, B frappe 17 coups en 9 minutes.
Indiquez les coups qui s'approcheront le plus de la coïncidence
dans la première demi-heure de travail.
Comptons les coups frappés après le premier et supposons
que le xe
coup de A coïncide avec le ye
12
. x = 9
17
. y soit y
x
= 119
108
coup de B,
les temps mis depuis l'origine du travail pour arriver à
ces deux coups étant égaux. On a :
7
Les nombres 119 et 108 étant premiers entre eux, la
coïncidence exige que x = 108 et y = 119.
A étant le moins rapide, il ne peut frapper que
51 coups dans la première demi-heure de travail et la
coïncidence parfaite des coups ne pourra donc pas
intervenir dans ce laps de temps. Pour calculer les
fractions qui se rapprochent le plus de 119
108, il faut la
décomposer. Pour cela, nous allons utiliser une
méthode séculaire : la méthode des fractions
continues réduites.
Toute fraction P
Q = K peut s'écrire :
K = a0 + 1 avec K1 > 1
Ki = ai + 1
K1
Ki + 1
Soit P
Q = a0 +
et on néglige
a 1 +
1
Kn
Remarque : en tronquant à partir d'un certain Ki, on
obtient une fraction réduite plus simple et d'autant
plus proche de la fraction réelle qu'on a poursuivi
loin en i (1)
.
On obtient les relations de récurrence suivantes :
Pn = an . Pn - 1 + Pn - 2 avec P0 = a0 et P1 = a0 . a1 + 1
Qn = an . Qn - 1 + Qn - 2 avec Q0 = 1 et Q1 = a1
On poursuit avec l'algorithme qui en découle :
Indices
0 1 2
ai
Pi
Qi
1
a0
0 1
74
a1
a0 a0a1+1
a1
Arts&MétiersMAG
N°433 / février 2022
a2
... n - 2 n - 1 n
... an - 2 an - 1 an
Pn - 2 Pn - 1 Pn
Qn - 2 Qn - 1 Qn
1
a 2 + ...
avec Ki > 1 Kn = an + Kn + 1
1
K2
1
jusqu'à
1
a n - 1 +
1
K n
Qi
0 1 9 10 49 108
On obtient, dans le second tableau ci-dessus, la suite
convergeant vers la fraction
des fractions réduites Pi
Qi
initiale 119
de coups frappés par A en une demi-heure, on
conclut que le 49e
108. À cause de la limitation à 51 du nombre
coup de A et le 54e
coup de B sont
ceux qui s'approchent le plus de la coïncidence dans
le temps imparti.
Connue depuis l'Antiquité, la méthode des fractions
continues réduites était enseignée jadis dans les écoles
d'ingénieurs - avant l'ère de l'informatique. Elle
rendait bien service pour effectuer «manuellement»
des calculs fastidieux, notamment en cinématique
pour les rapports de roues dentées.
Pierre Dumont (Cl. 159)
(1)
Pour la démonstration de convergence, voir par exemple :
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction-continue
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
14 mars 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
Pi
K1 = a1 + 1 avec K2 > 1
avec Kn > 1
Appliquons cet algorithme au cas présent en
calculant d'abord les ai.
Indices
1
2
3
4
5
Indices
ai
p
119
108
11
9
2
q
108
11
9
2
1
reste
11
9
2
1
1 1
0 1 2 3 4
1 9 1 4 2
10 11 54 119
div : ai
1
9
1
4
2
Philippe Artiges (Ai. 159)
René Barthelat (Cl. 154)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Denis Borel (Li. 159)
Gérard Bruyère (Cl. 156)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
André Catillon (Ai. 152)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Alain Delahodde
Michel Delatte (Ch. 163)
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Gérard Gallou (Ch. 170)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Yann Gourdon (Ai. 216)
Michel Journeau (Cl. 150)
Yves Laumond (Ai. 162)
Frédéric Martin (An. 156)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Baptiste Portet (Ch. 218)
André Queguiner (An. 179)
Pierre Saunier (Cl. 168)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
Éric Tilagone (Bo. 187)
Frédéric Tremblay (Bo. 178)
Denis Villanove (Ai. 152)
n°177
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Problème
n°
180
proposé par Yves Laumond
(Ai. 162)
Dans un triangle ABC, on ajoute sur
chaque côté, côté sommet, une
longueur égale au côté opposé à ce
sommet, ce qui donne les points D,
E, F, G, H et I. Démontrez que ces six
points sont cocycliques.
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